麦克斯伟方程在时间和空间具有一定的对偶性(duality),比如空间上高斯光束的衍射与时间上高斯脉冲在具有负群速度色散的光纤中传输就具有这样的关系。科学家们对光的空间传输性质已经进行了几百年的研究,取得了丰硕成果。通过考察时空对偶性,借鉴光的空间传输现象,有利于理解甚至发现崭新的由超短脉冲参与的超快现象。

比如,根据斯涅尔定律,光在空间介质分界面会发生反射和折射现象,那么我们可以问:(1)相对应的时域界面是什么?(2)脉冲在时域界面又有哪些有趣的 “反射”和“折射”现象?

图1空间折反射和时域折反射示意图

空间折反射和时域折反射类比如图1所示。空间折反射过程中,反射光和折射光的波矢量发生改变,而频率保持不变;时间折反射则表现出相反的特性,折反射过程中光频率变化而波矢量守恒。

2015年,G． P． Agrawal等人研究了色散介质中脉冲在时域边界的反射和折射现象。他们将传播常数在入射脉冲中心频率做泰勒展开至二阶色散项,忽略脉冲自身的非线性效应,计算时域折反射过程脉冲和光谱演化如图2所示:白色虚线为时域边界的位置。

图2a显示,脉冲在时域折反射过程中,大部分能量发生折射进入时域边界,伴随着脉冲宽度减小和群速度降低;反射脉冲宽度和入射脉冲相等,对这些现象的解释可以通过色散曲线和波矢量守恒条件得到。折反射前后光谱的演化如图2b所示,入射光谱频移至两个不同的频率处,分别对应时域的折射和反射。

图2时域折反射现象的脉冲演化(a)和光谱演化(b);虚线:时域边界 [1]

利用折反射前后波矢量守恒条件和材料的色散曲线,可以计算反射脉冲和入射脉冲的中心波长。在时域折反射过程中,材料的色散曲线在确定反射和折射脉冲的频移量时起着重要作用。对于反射脉冲而言,频移量由脉冲相对时域边界的群速度和材料群速度色散共同决定。正色散导致脉冲红移,负色散导致蓝移;群速度色散越小,频移量越大;在色散零点附近将不发生时域反射。

对于折射脉冲,在任何情况下,折射脉冲频移量都小于反射脉冲频移量。将时域上反射和折射的频移表达式写成空间上折射定律和反射定律的形式,发现,当由折射率突然变化引起的传播常数的变化量足够大时,等效折射角失去物理意义,发生全内反射(如图3所示)。时域脉冲在时域边界处被全部反射,光谱全部频移至反射波中心频率处。

图3时域全反射现象的脉冲演化(a)和光谱演化(b)[1]

2016年,G． P． Agrawal等人在时域上全内反射的基础上,利用两个时域界面构建了时域波导,与单个时域界面不同之处在于,脉冲在到达第二个时域界面时,会再次经历全内反射,中心频率逆向频移至入射脉冲中心频率,如此反复进行,将脉冲捕获在两个时域边界之内(如图4所示)。

图4 (左)脉冲在时域波导中的演化,(右)频域的演化 [2]

模拟结果显示,随着传播距离的增加,群速度色散使得脉冲出现明显的展宽。在时域边界处,入射脉冲和反射脉冲的光谱干涉导致周期性的波纹结构。这与空间波导中传输层尺寸远大于光束宽度时发生的现象类似。在时域波导的理论研究中,引入无量纲参数V,以此确定时域波导中支持的模式数量,当V<(m+1)π/2时,支持m个模式;当m=0时,即V<π/2,时域波导为单模波导。时域波导的单模和多模传输如图5所示,单模传输时,脉冲在时域边界之间保持稳定,光谱也保持稳定,但中心频率移动至相对群速度为零处,以保证脉冲和时域边界以相同的群速度运行;多模传输时,时域出现多峰结构,在频域表现为以单模传输频率为中心对称分布的双峰结构;模式数量越多,时域强度峰越多,频域双峰间隔越远。

图5模式阶数分别为0、2和10的时域以及频域演化 [2]

空间单模波导得到了广泛的应用,单模光纤就是典型的例子。实验中将光束耦合进入单模光纤时,光束与光纤的轴对准和角度对准严重影响了耦合效率。时域波导中也面临着同样的问题。图6显示了当输入脉冲形状与单模脉冲形状有差异时,脉冲的时域和频域演化。

在开始阶段,脉冲和时域边界发生强烈相互作用,大量能量以色散波的形式进入时域边界的“包层”,随后被整形成单模形状稳定运行,类似于空间的角度对准。光谱的演化图中,输入光谱与时域波导的基模光谱重叠的部分被引导,经过一段距离的振荡之后保持稳定。类似于光束与光纤的轴对准。

图6 3．5ps的脉冲进入10ps时域波导的演化(a);被引导的光谱成分的演化(b)[2]

除了光束与光纤的轴和角度外,光束的宽度与光纤纤芯的匹配同样影响着耦合效率。G． P． Agrawal等人研究了不同脉宽的基模脉冲入射到时域单模波导后的现象,结果如图7所示。

对于入射到时域单模波导中的脉冲,无论其脉宽和形状如何,均会被整形。脉冲宽度较小时(图7a),群速度色散导致脉冲展宽,大量能量流出时域波导,少部分能量自整形成为单模脉冲稳定于时域波导内;脉冲宽度较大时(图7b),时域波导之外的能量大量流失,波导内的能量自整形成单模脉冲最终稳定。

图7 宽度2．5ps(左)和10ps(右)的脉冲在时域波导中的演化 [2]

对时域波导的理论研究和数值模拟得到了很多与空间波导类似的结果。然而,在实验中实现时域波导依然是一个难题,主要问题是如何控制脉冲对于时域边界的相对速度,G． P． Agrawal等人提出利用同向传播的微波脉冲驱动的行波电光相位调制器产生两个移动的边界。

另一个替代方法是,利用高能量矩形泵浦脉冲的泵浦-探测装置,通过交叉相位相调制产生时域界面,这种情况下,将探测脉冲入射到两个泵浦脉冲中间,泵浦脉冲的两个边缘形成波导边界,选择色散曲线合适的光纤,就能实现时域波导,为上述时域折反射理论提供可靠的实验验证。

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参考文献

[1] B． W． Plansinis, W． R． Donaldson, and G． P． Agrawal, “What is the temporal analog of reflection and refraction of optical beams?” Phys． Rev． Lett． 115, 183901 (2015)．

[2] Plansinis, Brent, W, et al． Temporal waveguides for optical pulses[J]． Journal of the Optical Society of America, B． Optical Physics, 2016．